Калькулятор складного відсотка

Покладіть $10,000 в індексний фонд S&P 500 (SEC: S&P 500), додавайте $500 щомісяця і просто залиште це на двадцять років. При історичній довгостроковій дохідності 10% у вас вийде близько $452,000.

Це той заголовок, на якому зупиняється більшість калькуляторів складного відсотка, і він не помилковий. Але він замовчує те, що насправді визначає результат: S&P не дає 10% у будь-який окремий рік (буває −22% і +28%, які потім усереднюються), $452,000 у 2046 році відчуваються приблизно як $250,000 сьогодні, різниця між щоденною і місячною капіталізацією майже не помітна, а найдорожча помилка — не неправильна ставка, а те, що людина починає на пʼять років пізніше, ніж могла б.

Нижче — математика, реалістичні діапазони, правда про інфляцію і невелика добірка помилок, які тихо коштують найбільше.

Чому складний відсоток — це тиха суперсила

Інтуїція проста: коли ваші доходи самі починають заробляти доходи, крива перестає бути прямою і стає хокейною ключкою. Сама математика непомітна — невеликий відсоток, помножений на повільно зростаючу базу. Саме тому її і пропускають.

Більшість із нас мислить лінійно: десять років заощаджень здаються вдвічі продуктивнішими за пʼять. Складний відсоток працює інакше. За перше десятиліття 30-річного маршруту наростає невелика частина кінцевого балансу. За останнє десятиліття — більша його частина. Якщо намалювати $10,000 під 8% за 30 років, баланс перетне $50,000 приблизно на 21 році, а потім майже подвоїться за останні девʼять.

Саме це пізнє прискорення і є складним відсотком (буквально). Воно невидиме до самого кінця — ось чому ті, хто почав рано, часто навіть не усвідомлюють, наскільки далеко випередили тих, хто почав із більших сум, але пізніше. Перший долар, вкладений у 22, має 40 років для розмноження. Перший долар, вкладений у 40, — 22 роки.

Сама ідея не нова — італійські купці ще у XIV столітті користувалися таблицями складного відсотка для розрахунку позик (SEC: складний відсоток). Що змінилося — це доступність: той самий механізм тепер працює всередині звичайних індексних фондів і ощадних рахунків, до яких має доступ будь-хто.

Формула простими словами

Стандартна формула складного відсотка виглядає страшніше, ніж є:

A = P · (1 + r/n)^n·t

Пʼять символів, кожен має зрозуміле значення:

• P — з чого починаєте (тіло вкладу). $10,000.
• r — річна дохідність десятковим. 8% це 0.08.
• n — скільки разів на рік нараховуються відсотки. Щомісяця = 12, щодня = 365.
• t — кількість років.
• A — те, що матимете в кінці. Шукана величина.

Підставимо приклад: $10,000 під 8% з місячною капіталізацією за 20 років = 10000 × (1 + 0.08/12)²⁴⁰, що дає приблизно $49,268. Калькулятор вище робить це миттєво і ще додає те, чого сама формула не вміє — періодичні внески місяць за місяцем, кожен з яких запускає свою маленьку послідовність капіталізації.

Для порівняння: простий відсоток (який ще використовують у небагатьох ощадних продуктах) рахується як P · r · t — ті ж $10,000 під 8% за 20 років принесуть $16,000, тобто кінцевий баланс $26,000. Це приблизно вдвічі менше, ніж складний відсоток. З часом розрив зростає, тому майже всі довгострокові інвестиційні інструменти побудовані саме на капіталізації.

Чому частота капіталізації має значення (трохи)

Перемикач «Капіталізація» в калькуляторі вище дозволяє обрати щодня, щомісяця або щороку. Інтуїтивно здається, що частіша капіталізація має давати значно більше грошей. Реальність скромніша.

Чисте порівняння: $10,000 під 8% за 30 років, без додаткових внесків. Річна капіталізація дає приблизно $100,627. Місячна — $109,357. Щоденна — $109,968. Розрив між річною і щоденною за тридцять років становить близько 9% від кінцевого балансу.

Візуальний висновок: чотири лінії перші десять років виглядають як одна лінія. Друге десятиліття вони злегка розходяться. Третє — трохи більше. Жодного стрибка немає.

Де частота справді важлива — це короткострокова готівка. Високодохідний ощадний рахунок під 4% з щоденною капіталізацією відчутно кращий за ті ж 4% з річною, якщо гроші лежать рік-два. Для багаторічного інвестування частота — це похибка округлення на тлі ставки, часу і регулярного внеску.

Реальні і номінальні гроші: чому $452К — це не насправді $452К

Ось частина, яку більшість калькуляторів пропускає: сума, яку ви бачите через двадцять років, — це гроші майбутнього. На гроші майбутнього купується менше. Інфляція — це повільний витік, через який ваші бабусі й дідусі памʼятають бензин по 20 копійок, а $452,000 у 2046 році не відчуватимуться як $452,000 сьогодні.

Довгострокова інфляція в США в середньому близько 3% на рік (BLS CPI), з коливаннями від 2% до 4% залежно від десятиліття. При 3% складної інфляції ціни майже подвоюються кожні 24 роки. За 20 років $1 сьогодні купуватиме приблизно 55¢ товарів. Тобто $452,000 у 2046 році перекладаються в приблизно $250,000 у 2026 (SEC: глосарій інфляції). Це все одно багато — але це чесніше «багато», ніж $452,000.

Увімкніть «Показати в сьогоднішніх грошах (з урахуванням інфляції)» у калькуляторі вище. Велике число зменшується, графік стискається, сценарії звужуються. Ваші внески й дохідність не змінилися — змінилася одиниця, в якій ви на це дивитеся. Більшість фінансових розмов мають відбуватися в сьогоднішніх грошах; число у майбутніх — це оптимістично виглядаюча арифметика.

Три типові помилки

Помилка 1. Сприймати історичну дохідність як гарантію

S&P 500 у середньому давав близько 10% номінальних річних за останнє століття. До цього числа варто додати велику зірочку. Двадцятирічні відрізки до 1999 року виглядали як 18% річних; двадцятирічні відрізки до 2009 — як 6%. Брати 10% для свого двадцятирічного прогнозу — не помилка, але вважати це майже гарантованим — так. Саме тому калькулятор вище показує три сценарії — песимістичний, очікуваний, оптимістичний — на основі історичних рухомих діапазонів. Плануйте бюджет по середньому, а не по верхньому.

Помилка 2. Відкладати старт «бо ще немає достатньо грошей»

Люди чекають, доки зможуть вкладати «справжні гроші». Сама затримка і є помилкою. 22-річний, що відкладає $200/міс під 8%, до 65 років матиме приблизно $700,000. 32-річний, що відкладає $400/міс — удвічі більше — на тих самих умовах матиме приблизно $590,000. Подвоєння внеску не наздоганяє втрачене десятиліття. Час — це те, що не можна купити заднім числом; внесок — це регулятор, який ви можете збільшити пізніше. Починайте з суми, яка здається невеликою настільки, щоб не зірватися, а далі поступово підкручуйте.

Помилка 3. Виходити з ринку під час просідань

Кожен довгостроковий графік дохідності має просідання, які в моменті відчуваються так, ніби вони вже не відновляться. Поки що вони відновлювалися щоразу — але не за розкладом. Виходити під час падіння означає зафіксувати збиток і вилучити ці гроші з подальшого складного зростання. Чим ближче до мети, тим більше сенсу мати в портфелі менш волатильні активи (облігації, готівку). Чим далі — тим більше просідання можна спокійно проігнорувати, і найкраща реакція часто — нічого не робити.

Три сценарії, в яких можна впізнати себе

Двадцятирічний, $300/міс протягом 40 років. При очікуваній дохідності 8% з місячною капіталізацією — приблизно $1,047,000 до 60 років, з сумарних внесків $144,000. Близько семи доларів зростання на кожен вкладений долар. Уся історія — це математика останнього десятиліття.

Тридцятирічний, $1,000/міс протягом 30 років. Ті самі припущення, набагато більші внески, 30 років замість 40. Кінцева сума — приблизно $1,490,000. Більше готівки на вході, менше часу для капіталізації — і все ж відстань до сценарію з двадцятирічним менша, ніж очікувалося, бо коротший горизонт має крутішу криву капіталізації наприкінці.

Пʼятдесятирічний з $100,000 заощаджень, додає $500/міс протягом 15 років. Кінцева сума — близько $504,000. Стартовий баланс робить тут більшу частину роботи; внески подвоюють результат. Цей профіль — більше про те, щоб не зруйнувати вже накопичене (інфляція, ризик послідовності повернень, податкова ефективність), ніж про максимізацію зростання.

Спільна закономірність: почати раніше — драматично краще, ніж почати з більшої суми. Двадцятирічний з $300/міс випереджає тридцятирічного з $1,000/міс перші 25 років; тридцятирічний врешті наздоганяє завдяки обʼєму внесків, але важіль часу — найсильніший. Якщо ви читаєте це у 25 — практичний висновок: невелика щомісячна сума, почата зараз і залишена в спокої, виграє у майже будь-якого героїчного зусилля у 2035 році.

Корисна підказка: правило 72

Розділіть 72 на річну дохідність — отримаєте приблизний час подвоєння капіталу (Khan Academy: Rule of 72). При 8% гроші подвоюються за 9 років. При 6% — за 12. При 12% — за 6. Правило не точне — це швидка перевірка в умі без калькулятора — але достатньо точне для того, щоб тверезо оцінювати прогнози «на паперовій серветці». Якщо хтось обіцяє подвоїти ваш капітал за три роки — це означає 24% річних. Сприймайте з відповідним рівнем скепсису.